top of page
Математические достижения Вацлава Серпинского
Биография математика
Вацлав Франциск Серпинский родился 14 марта 1882 года в Варшаве в семье врача Константина Серпинского. В 1900 году поступил на физико-математический факультет Варшавского университета. После окончания был назначен преподавателем математики и физики в женской гимназии Варшавы. В 1906 году он получил степень доктора философии. В январе 1908 года он стал членом Варшавского научного общества, а в июле получил докторскую степень и начал читать лекции по теории множеств в Львовском университете. В сентябре 1910 года он был назначен профессором. Опубликовал три книги и большое количество статей. Первая мировая война застала его с семьёй в России и он был сослан в Вятку, но позже ему было позволено жить в Москве. Летом 1918 года Серпинский начал читать лекции во Львове, но с осени 1918 года стал преподавать в Варшавском университете, где в апреле 1919 года был назначен профессором. В 1921 году он был избран в Польскую академию и стал деканом факультета Варшавского университета. В 1928 году стал вице-президентом Общества науки и литературы Варшавы (с ноября 1931 года — президент) и в том же году был избран председателем Польского математического общества. После освобождения из нацистского лагеря в феврале 1945 года он приехал в Краков, читал лекции в Ягеллонском университете, а осенью вернулся в Варшаву. В 1960 году вышел на пенсию, но продолжал вести семинар по теории чисел в Польской академии наук до 1967 года.
Серпинский в 1909 г.
Вклад Вацлава Серпинского в развитие отдельных направлений математической науки
Во второй половине XIX в. в математике произошли серьезные изменения. Г. Кантор создал теорию множеств, что в свою очередь повлияло на становление новых подходов к математическому анализу. Но математический мир меняется, нужны были новые идеи на новой основе. В 1907 г. Серпинский не знал о существовании теории множеств, но высказал предположение о том, что положение точки на плоскости может быть определено с помощью одного лишь действительного числа. Он написал об этом своему коллеге Т. Банахевичу, слушателю Гёттингенского университета. Тот телеграфировал ему только одно слово: «Кантор», затем прислал литературу. И с 1909 года Серпинский уже читал в университете курс по этой специальности. Занятия теорией множеств, привели Серпинского к убеждению, что это и есть общий фундамент современной ему математики. В 1907 г. он познакомился с математиком Зигмундом Янишевским, а затем со Стефаном Мазуркевичем. Они стали работать над исследовательской темой в области теории множеств, а также необходимостью реорганизации науки в стране. Но их планам помешала начавшаяся Первая мировая война. Серпинский гостил у родственников жены в Белоруссии но был интернирован и отправлен в Вятку. За него хлопотали московские математики, и его перевели в Москву. Там Серпинский активно сотрудничает с математиком Н. Н. Лузиным, с которым сохранил приятельские отношения на всю жизнь. Математик продолжает занимается теорией множеств. Он пишет ряд работ по данной теме в частности «О некоторых свойствах А-множеств» (совместно с Лузиным). Еще одной плодотворной находкой Серпинского было установление двойственности между мерой и категорией. Известно много теорем о множестве первой категории, которые остаются верными для множеств меры нуль и обратно. Серпинский высказал гипотезу (которую впоследствии доказал) о существовании взаимно-однозначного соответствия между ними, что позволяло значительно упрощать построения. После возвращения в Польшу Серпинский получает кафедру в Варшавском университете. И вновь встречает там Янишевского и Мазуркевича. Они снова вернулись к обсуждению вопроса об организации научной деятельности. Янишевский предложил создать журнал где бы публиковались статьи на исследуемые темы. В 1920 году выходит новый математический журнал Fundamenta Mathematicae. Его статьи были посвящены теории множеств, теории функций и анализу. Он включал 14 статей Серпинского. С конца 1920 года Серпинский стал руководить журналом. С 1920 по 1939 г. вышли 32 номера, где были напечатаны 972 работы 216 авторов.
Варшавский университет
Зигмунд Янишевский
Стефан Мазуркевич
Николай Николаевич Лузин
Журнал Fundamenta Mathematicae
Первый номер.
Исследования аксиомы выбора и гипотезы континуума
Серпинский принимал аксиому выбора и видел в ней полезный метод. В 1917 г. он сделал в Московском математическом обществе доклад «Аксиома выбора и ее роль в анализе и теории функций» , в котором систематизировал проблемы меры и измеримости по их зависимости от аксиомы Цермело. Впоследствии он уделял много внимания зависимости утверждений от аксиомы выбора и гипотезы континуума, в начале каждой работы оговаривая наличие или отсутствие этой связи. Многие из упомянутых проблем в дальнейшем стали темами новых исследований Серпинского и его учеников. А также проблема инвариантности свойств измеримости, непрерывности и свойства Бэра, и связь аксиомы выбора с гипотезой континуума. Серпинский показал эквивалентность гипотезы континуума теоремам элементарной геометрии. Серпинский провёл огромную работу по упорядочению фундаментальных положений теории множеств в связи с аксиомой выбора и гипотезой континуума. Им обобщены многие важные теоремы, для многих из них Серпинский привел новые доказательства, чем уточнил их положение в общей теории. В некоторых случаях он установил невозможность дальнейшего обобщения.
С 1917 по 1922 гг. Серпинский заинтересовался проблемами топологии. С позиции топологии он рассматривал и теоретико-множественные проблемы. В частности, он получил, что ограниченное и замкнутое множество точек в пространстве m измерений, которое не может быть разложено на два замкнутых множества без общих точек, также не может быть разложено на счетное число замкнутых множеств попарно без общих точек. Он занимался следующими топологическими характеристиками множеств: гомеоморфные образы отрезка (так называемые простые дуги), а затем его непрерывные образы (то есть пеановские континуумы), и нашел так называемое условие S. В 1921 г. Серпинский дал характеристики различных замкнутых множеств, сформулировал несколько теорем об особых топологических мощностях. Некоторые топологические исследования Серпинского 1921 г. закладываются в фундамент образующейся тогда теории размерности. Еще до определения топологических понятий размерности Серпинский придавал понятию размерности первостепенное значение, выделял понятие «размерность нуль», а также уточнял размерности существующих множеств, а именно тех из них, которые следуя терминологии теории размерности, называются слабо-одномерными.
Исследования в других областях математики
В 1906 г. Серпинский работает над одной из проблем в теории асимптоти-
ческих функций, продолжая свои студенческие и диссертационные исследования.
Он выводит формулу, позволяющую приближенно вычислять количество
точек с целочисленными координатами. Её вновь доказал Э. Ландау в 1913 г. Эта
же идея развита Серпинским в 1909 г. для числа точек с целочисленными координатами в шаре. Большое внимание Серпинский уделял проблеме классификации множества функций Бэра, Бореля, Суслина и Лузина, занимался аналитическими и проективными множествами. Он предлагал различные варианты классификации, установил связи между ними. Серпинским была рассмотрена роль неэффективного доказательства, доказательств методом диагонали Кантора, а также доказательств с привлечением трансфинитных последовательностей, аналитических множеств, понятия решета. Совместно с Мазуркевичем Серпинский дал еще одно определение аналитических множеств, как множеств тех значений, которые непрерывная функция принимает несчетно много раз. Многие работы Серпинского посвящены множествам значений односторонне непрерывной функции, теории меры и интеграла. Серпинский провёл колоссальную работу написал более 800 работ, из них около 700 – чисто научных.
Математические понятия связанные с именем Вацлава Серпинского
Числа Серпинского
В теории чисел нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n число является составным. Числа названы так в честь открывшего их существование польского математика Вацлава Серпинского. Существование чисел Серпинского довольно неочевидно. Например, если рассмотреть последовательность , то в ней регулярно будут встречаться простые числа, и неожиданным является тот факт, что для некоторых k в последовательности никогда не встретится простое число. Чтобы доказать, что число k не является числом Серпинского, нужно найти такое n, что число является простым. Известные на данный момент числа Серпинского: 78 557, 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719, 575 041, 603 713, 903 983, 934 909, 965 431, 1 259 779, 1 290 677, 1 518 781, 1 624 097, 1 639 459, 1 777 613, 2 131 043, 2 131 099, 2 191 531, 2 510 177, 2 541 601, 2 576 089, 2 931 767, 2 931 991, 3 083 723, 3 098 059, 3 555 593, 3 608 251, …
Задача отыскания минимального числа Серпинского известна как проблема Серпинского. В 1967 году Селфридж и Серпинский предположили, что 78 557 является наименьшим числом Серпинского. Доказательством этой гипотезы занимаются проекты распределённых вычислений Seventeen or Bust и PrimeGrid.
Кривая Серпинского
Кривая Серпинского — это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых, открытых Вацлавом Серпинским. Кривая в пределе при полностью заполняет единичный квадрат, так что предельная кривая, также называемая кривой Серпинского, является примером заполняющих пространство кривых.
Кривая Серпинского полезна для некоторых практических приложений, поскольку она более симметрична по сравнению с другими обычно рассматриваемыми заполняющими пространство кривыми. На основе кривой Серпинского могут быть реализованы вибраторные либо печатные конструкции антенн.
Кривая Серпинского
Пространство Серпинского, связное двоеточие (или связное множество двухточечный) представляет собой конечное топологическое пространство с двумя точками, только один из которых является закрытым. Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным. Он назван в честь Вацлава Серпинского. Пространство Серпинского имеет важное отношение к теории вычислений и семантике, поскольку оно является классифицирующим пространством для открытых множеств в топологии Скотта .
Набор Серпинского
В математике множество Серпинского - это несчетное подмножество реального векторного пространства, пересечение которого с каждым множеством нулевой меры является счетным. Существование множеств Серпинского не зависит от аксиом ZFC .Серпинский в 1924 году показал, что они существуют, если гипотеза континуума верна.
Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора. Его математическое описание которого опубликовал Вацлав Серпинский в 1915 году.
Свойства:
- Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2;
- Треугольник Серпинского замкнут;
- Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1;
- Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам);
- Треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
.png){kind=small}
Построение треугольника Серпинского
Ковёр Серпинского
Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г.
Свойства:
- Ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3;
- Ковер Серпинского замкнут;
- Ковер Серпинского имеет топологическую размерность 1;
- Имеет нулевую меру Лебега;
- Если гиперболическая группа имеет одномерную границу и при этом не является полупрямым произведением, то её граница гомеоморфна ковру Серпинского.
Ковёр (квадрат) Серпинского
6 итераций построения ковра Серпинского.
Талантливый педагог
Большой вклад Вацлава Серпинского в развитие математической науки сложно переоценить. Но мне хотелось бы упомянуть о нём и как о талантливом педагоге. Математик воспитал целую плеяду замечательных математиков. Среди них К. Куратовский, Э. Марчевский, Отто Никодим. Н. Н. Лузин в 1926 году писал: "Г-н Серпинский – замечательный научный руководитель. Он постоянно находится в тесном контакте со своими учениками, с которыми у него наилучшие отношения и которые исключительно ценят его. Он направляет их научные идеи, дает темы для их работ, смело печатает последние и заботится обо всем, даже о материальном положении своих учеников".
Успешной работе учеников Серпинского способствовал выработанный им метод, основанный на классификации математических утверждений по их зависимости от гипотезы континуума и аксиомы выбора, новые способы доказательств существования с использованием аксиомы выбора Предпосылкой для успеха школы Серпинского было также обнаружение им в тридцатые годы логически двойственных явлений и объектов в математике, что позволило восполнять пробелы в теоретических сведениях о них.
Достижения
Вацлав Серпинский был удостоен почётных степеней университетов:
- Львова (1929);
- Святого Марка в Лиме (1930);
- Амстердама (1931);
- Софии (1939);
- Праги (1947);
- Вроцлава (1947);
- Лакхнау (1949);
- Московского университета(1967).
Серпинский был членом:
- Географического общества Лимы (1931);
- Королевского научного общества Льежа (1934);
- Болгарской академии наук (1936);
- Национальной академии Лимы (1939);
- Королевского общества наук в Неаполе (1939);
- Академии деи Линчеи в Риме (1947);
- Немецкой академии наук (1950);
- Американской академии искусств и наук (1959);
- Парижской академии (1960);
- Королевской голландской академии (1961);
- Международной академии философии науки в Брюсселе (1961);
- Лондонского математического общества (1964);
- Румынской академии (1965);
- Папской академии наук (1967).
bottom of page