Изображения арифметического треугольника
"...природа создать треугольники действительно не может, но зато могут люди. Они и создают".
Илья Панин.
Ачарья Пингала
Родился III до н.э. Индийский автор Чандамшастры (Chandaḥśāstra)
Чандамшастра представляет собой первое известное описание бинарной системы исчисления. Сама работа сохранилась только элементами. Позже Математик Халаюдха дал комментарии к работе Пингалы, а также объяснил неясные ссылки на Меру-прастара (мера-прастара даёт первое сохранившееся описание расположения чисел в виде треугольника).
Расположения чисел в виде треугольника в рукописях Пингалы
ас-Самав'ал
«Блестящая книга о науке арифметике»
Доказал биномиальную теорему для n = 3; 4; 7, а в п. 8 описал формулу бинома и нашел коэффициенты разложения по степеням для n = 1; 12.
«Блестящая книга о науке арифметике»,
Никколо Фонтана Тарталья
"General Trattato aglia"
Тарталья знал о треугольнике Паскаля за 100 лет до Паскаля. Его примеры числовые, но он думает об этом геометрически: горизонтальная линия на вершине треугольника разбита на два сегмента и, где точка - это вершина треугольника. Биномиальные расширения равносильны тому, чтобы принимать за экспоненты, когда вы спускаетесь по треугольнику. Символы снаружи представляют полномочия на этой ранней стадии алгебраической записи: и т. Д. Он явно пишет о правиле формирования аддитивов, что (например) смежные 15 и 20 в пятой строке в сумме дают 35, которая появляется под ними в шестой строке.
Чжу Ши-Цзе
"Яшмовое зеркало четырех элементов" (1307)
На титульном листе своего сочинения он привел арифметический
треугольник, в котором записал биномиальные коэффициенты до восьмой степени. Арифметический треугольник он называл диаграммой древнего метода Цзя Сяня.
Джемшид ал-Каши
"Ключ к арифметике" 1427 год
Метод разложения натуральных степеней бинома предложенный ал-Каши совпадал с тем, который ранее применял ат-Туси. Он записывал все промежуточные выкладки в одной таблице, тогда как
ат-Туси их стирал.
Петер Апиан
"Арифметика"
Благодаря его исследованиям математический треугольник стал известен в Западной Европе.
Омар Хайям
Работа Хайяма. 1100 год.
Он также занимался нахождением значений биноминальных коэффициентов.
Вацлав Серпинский
Треугольник Серпинского- фрактал,один из двумерных аналогов множества Кантора математическое описание которого опубликовал польский математик Вацлав Серпинский в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского.
Треугольник Паскаля
"Трактат об арифметическом треугольнике" 1665 год
Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси.
Другие арифметические треугольники
Существуют треугольники, построение которых связано с известными однопараметрическими комбинаторными числами. Создание таких треугольников основано на принципе построения рассматриваемого выше треугольника Паскаля.
Треугольник Люка
Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, которые могут быть определены как Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1. Каждый элемент треугольника определяется по правилу Паскаля Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k при начальных условиях L1,0=1, L1,1=2 и L0,k=0 т. е. n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля.
Треугольник Фибоначчи
Из чисел (fm, n), удовлетворяющих уравнениям
fm, n=fm-1,n+fm-2,n, fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, где с начальными условиями f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 строится следующий треугольник. fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, где fn - n - е число Фибоначчи. Построенный треугольник назван треугольником Фибоначчи.
Треугольник Трибоначчи
Есть еще один треугольник, создание которого основано на методе построения треугольника Паскаля. Это треугольник Трибоначчи. Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44,..., которая может быть определена следующим рекуррентным соотношением: tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn с начальными условиями t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2
Треугольник колокола (Белла)
Это треугольник чисел, аналогичный треугольнику Паскаля. Он назван в честь его тесной связи с числами Белла. Треугольник Белла был открыт независимо несколькими авторами.В 1880 Пирсом, Эйткеном в 1933 году и др. Треугольник можно построить, поместив цифру 1 в его первую позицию. После этого размещения крайнее левое значение в каждой строке треугольника заполняется путем копирования самого правого значения в предыдущей строке. Остальные позиции в каждой строке заполняются по правилу, очень похожему на правило для треугольника Паскаля : они представляют собой сумму двух значений слева и вверху слева от позиции. Таким образом, после первоначального размещения числа 1 в верхней строке это последняя позиция в своем ряду и копируется в крайнюю левую позицию в следующей строке. Третье значение в треугольнике, 2, является суммой двух предыдущих значений вверху слева и слева от него. Как последнее значение в своей строке, 2 копируется в третью строку, и процесс продолжается таким же образом.
"Гармонический треугольник Лейбница"
Гармонический треугольник был придуман Лейбницем в 1673 году. для суммирования обратных или дробных фигурных чисел. Он сыграл исключительную роль в возникновении дифференциальноинтегрального исчисления. Его свойства аналогичны (в смысле противоположности) свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника выражаются обратными значениями последовательности натуральных чисел.
"Знаковый треугольник".
Построение "знакового треугольника".
Это треугольник, составленный из одних знаков, плюсов и минусов, по принципу образования треугольника Паскаля. В отличие от последнего, он расположен основанием вверх. Сначала задается первая строка, состоящая из произвольного количества знаков и их расположения. Каждый знак следующей строки получается путем перемножения двух вышестоящих знаков.
Одной из задач является установить, при каком количестве знаков первой строки число минусов и плюсов будет одинаковым. Общее количество знаков в таблице можно определить формулой
где n - число знаков в первой строке.
Образуется последовательность чисел, при которых количество минусов и плюсов может быть равным: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16,..., каждое из которых показывает количество знаков в первой строке. Однако не установлено, при каком расположении знаков число минусов и плюсов будет однозначно одинаковым.
Второй задачей, касающейся треугольника произведения знаков, является установление наименьшего количества плюсов, которое может иметь "знаковый треугольник".
Существует интересная последовательность знаков первой строки: +, -, -, +, -, -, ... (или -, -, + ,- ,- ,+ , ...), при которой число плюсов, как до сих пор считается, будет наименьшим и равным 1/3 от общего числа знаков, т. е. равным
Важно заметить, что если постепенно обходить треугольник, то последовательность знаков +, -, -, ... сохранится.
Обратим внимание на тот факт, что наименьшее количество плюсов, равное 1/3 от общего числа знаков, можно увидеть и в треугольнике при n = 2.
