Свойства треугольника Паскаля
Свойство 1.
Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно то есть треугольник Паскаля бесконечен.
Свойство 2.
Первая диагональ треугольника Паскаля – это натуральные числа, идущие по порядку.
Свойство 3.
Вдоль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа (Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел) и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
Свойство 4.
Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или, более точно, тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
Свойство 5. (числа Фибоначчи)
Паскаль, наверное, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке — элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел). Красным цветом выделены числа Фибоначчи. Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.
Свойство 6.
Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.
Свойство 7.
Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке, поскольку при построении каждой строки числа, стоящие в предыдущей, сносятся дважды.
Свойство 8.
Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
Свойство 9.
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.
Свойство 10.
Каждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
Свойство 11.
Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
Свойство 12.
Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
Свойство 13.
Все строки Треугольника Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).
Свойство 14.
Четвёртая диагональ треугольника Паскаля - это уже фигурные числа в четырехмерном измерении, поэтому это можно только представить в виртуальном мире.
Свойство 15.
Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки чёрного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники.
Свойство 16.
Сложив числа в каждом ряду, получим последовательные степени числа два.
Свойство 17.
Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича
Свойство 18.
В треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилаканты можно найти число Пи.
Свойство 19.
В любой строчке n, где n является чётным, средний член за вычетом члена в двух точках слева равен каталонскому числу (n / 2 + 1)
Свойство 20.
Каждая запись в строке 2 n-1, n ≥ 0, является нечётной
Свойство 21.
Полярность. Когда элементы строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются вместе последовательно, каждая строка со средним числом, означающим строки с нечётным числом целых чисел, даёт 0 в качестве результата
Свойство 22.
Значение строки, если каждая запись считается десятичным знаком (имеется в виду, что числа больше 9 переносятся соответственно), является степенью 11 (11n для строки n). Таким образом, в строке 2 ⟨1, 2, 1⟩ становится 112, равно как ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в строке пять становится (после переноса) 161, 051, что составляет 115. Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе.
Свойство 23.
Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
Свойство 24.
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Свойство 25.
Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
Решение задач по комбинаторике с помощью
треугольника Паскаля.
Задача 1
В магазин доставили 6 компьютеров, их необходимо расставить по 3 в ряд. Сколькими способами можно это сделать?
Решение 1.
Для этого нам нужно найти шестую строку и третью диагональ (номер строки определяется общим количеством компьютеров, а номер диагонали тем количеством компьютеров, сколько их должно стоять в ряду). На их пересечении будет ответ.
Примечание: если вы перепутаете номера диагонали и строки и будете искать число, стоящее на пересечении диагонали 6 с 3 строкой, то обнаружите, что они не пересекаются. То есть сам метод не дает вам ошибиться.
Решение 2.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Задача 2.
Сколькими способами можно расставить 9 цветов по 3 штуки в букет?
Решение.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
Задачи на нахождение биномиальных коэффициентов.
Задача.
Найти разложение (х+3)^3
Решение.
Воспользуемся треугольником Паскаля. Поскольку треугольник Паскаля строится с помощью биноминальных коэффициентов, то каждый ряд будет соответствовать (a+b) в степени равной номеру строки.
Из этого следует,
